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L'héritage de Kolmogorov en mathématiques

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  • Belin
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L'héritage de Kolmogorov en mathématiques

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Informations sur l’ouvrage

Andreï N. Kolmogorov (1903-1987) fut l'un des plus brillants mathématiciens du XXe siècle. Esprit exceptionnellement profond et original, il savait poser un regard neuf sur chacun des sujets qu'il abordait, pour bien souvent en changer radicalement le paysage. À l'occasion du centenaire de sa naissance, une vingtaine de mathématiciens de renom ont voulu lui rendre hommage en revisitant son oeuvre des plus foisonnantes. Qu'on en juge : séries de Fourier, logique, probabilités, statistique, topologie, systèmes dynamiques, complexité, etc., sans oublier les résultats obtenus en écologie théorique ou en théorie algorithmique ! Destiné aux étudiants comme aux chercheurs, cet ouvrage présente en outre diverses applications marquantes et très récentes des méthodes de Kolmogorov - parfois dans des domaines inattendus comme les réseaux de neurones ou le théorème de Gödel - qui passionneront tous les amateurs d'idées mathématiques.
Il fait suite à L'héritage de Kolmogorov en physique publié dans la même collection en 2003.

  • 304 Pages
  • 33,00 €
  • ISBN : 978-2-7011-3669-1
  • Date de parution : 08/09/2004
  • Dimensions : 17x24 cm
  • Format : Broché
  • Impression : Noir et blanc
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Auteurs

Ouvrage coordonné par :
Éric Charpentier, maître de conférences à l'université Bordeaux I,
Annick Lesne, maître de conférences à l'université Paris VI,
Nikolaï Nikolski, professeur à l'université Bordeaux I.

TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1 LA JEUNESSE D'ANDREI NIKOLAEVICH ET LES SÉRIES DE FOURIER
Jean-Pierre Kahane
1 Convergence et divergence des séries de Fourier
2 Fonctions harmoniques conjuguées et séries de Fourier
3 Séries de Fourier, intégration et probabilités
3.1 Intégration de la conjuguée d'une fonction sommable
3.2 Séries de variables aléatoires indépendantes et séries de Fourier lacunaires
4 Postérité des articles de jeunesse de Kolmogorov
Appendice Deux autres aspects des résultats de Kolmogorov sur la conjuguée harmonique
Nikolaï Nikolski
Bibliographie

Chapitre 2 LA CONTRIBUTION DE KOLMOGOROV EN LOGIQUE INTUITIONNISTE
Thierry Coquand
1 Le premier article (1925). Formalisation de la logique intuitionniste
1.1 Le contexte historique
1.2 Kolmogorov et sa formalisation de la logique intuitionniste
1.3 L'interprétation négative
1.4 Le calcul des prédicats
1.5 Références à l'article de 1925
2 Mathématiques classiques et intuitionnistes
2.1 Le problème
2.2 Intuitionnisme prédicatif
2.3 Intuitionnisme imprédicatif
2.4 Le problème avec l'axiome du choix
3 Raffinement du résultat de Kolmogorov
4 Un calcul des problèmes
5 Quelques développements récents
6 Un calcul des problèmes pour la logique classique?
Bibliographie

Chapitre 3 QUELQUES ASPECTS DE L'OEUVRE PROBABILISTE
Loïc Chaumont, Laurent Mazliak et Marc Yor
1 Introduction
2 L'axiomatisation du calcul des probabilités
2.1 Un cadre abstrait
2.2 Construction de la loi conditionnelle
2.3 La loi du 0-1 (ou loi du tout ou rien)
3 Théorèmes limites et séries
4 Processus en temps continu
4.1 L'équation de Chapman-Kolmogorov
4.2 Processus à accroissements indépendants et stationnaires
4.3 Critères de continuité et de compacité relative
Bibliographie

Chapitre 4 ÉQUATIONS DE KOLMOGOROV EN DIMENSION INFINIE
Giuseppe Da Prato
1 Introduction et position du problème
1.1 L'équation de Kolmogorov
1.2 Equations de Kolmogorov en dimension infinie
1.3 Solutions « mild »
1.4 Semi-groupe de transition et propriété de Feller forte
1.5 Mesures invariantes et semi-groupes irréductibles
1.6 Cas où le problème n'est pas nécessairement bien posé
1.7 Sommaire
2 Le semi-groupe de Ornstein-Uhlenbeck
2.1 Définition et hypothèses
2.2 Ellipticité, hypoellipticité, effet régularisant
2.3 Mesure invariante, ergodicité, mélange
2.4 Effet régularisant dans L2(H, µ)
2.5 Perturbations de l'opérateur de Ornstein-Uhlenbeck
3 Non-linéarités régulières
3.1 Introduction
3.2 Mesures invariantes
4 Quelques équations de Kolmogorov intervenant dans les applications
4.1 Equations de réaction-diffusion
4.2 Equation de Burgers
4.3 L'équation de Navier-Stokes 2D
Bibliographie

Chapitre 5 KOLMOGOROV ET LA THÉORIE DES NOMBRES
Kevin Ford
1 Introduction
2 Nouvelles estimations pour les statistiques d'ordre uniformes
3 Applications en théorie des nombres
Bibliographie

Chapitre 6 PROBLÈME DE L'ESTIMATION ET e-ENTROPIE DE KOLMOGOROV
Mikhail Nikouline et Valentin Solev
1 Position du problème : statistiques paramétriques et non paramétriques
2 Notations et définitions
2.1 Lois cachées et estimateurs
2.2 e-entropie, e -capacité
3 Distance de Kullback-Leibler et estimateur du maximum de vraisemblance
4 Entropie d'une partition et inégalité de Fano
4.1 Entropie d'une partition
4.2 Entropie conditionnelle
4.3 Entropie d'une variable aléatoire
4.4 Quantité d'information
4.5 Lien entre la quantité d'information et la distance de Kullback-Leibler
4.6 L'inégalité de Fano
5 La borne inférieure du risque minimax
5.1 Cas d'un ensemble fini de densités
5.2 Cas général
5.3 Une minoration du risque
5.4 Quantité de points e-distinguables dans un ensemble discret
5.5 Borne inférieure du risque
6 Cohérence de l'estimation
6.1 Cohérence avec une certaine vitesse de convergence
6.2 Cohérence forte et entropie
7 L'estimateur de distance minimale
7.1 Construction de la métrique
7.2 Choix de l'estimateur et vitesse de convergence
8 Utilisation de l'entropie pour l'estimation d'une densité
Bibliographie

Chapitre 7 KOLMOGOROV ET LA TOPOLOGIE
Victor M. Buchstaber
1 Prélude
2 Les principaux résultats topologiques de A. N. Kolmogorov
2.1 Topologie algébrique
2.2 Topologie générale
3 Sur une idée topologique de Kolmogorov
Bibliographie

Chapitre 8 GÉOMÉTRIE ET THÉORIE DE L'APPROXIMATION
Vladimir M. Tikhomirov
1 Les motifs géométriques dans l'oeuvre de A.N. Kolmogorov
1.1 Introduction
1.2 Deux travaux géométriques de Kolmogorov
1.3 Définition de la mesure sur des classes d'ensembles et norme dans les espaces vectoriels topologiques
1.4 Largeur des ellipsoïdes et des octaèdres
1.5 Supplément sur les motifs géométriques et visuels dans les travaux de Kolmogorov
1.6 Le treizième problème de Hilbert
1.7 Cours de géométrie pour le lycée selon Kolmogorov
2 Les travaux de Kolmogorov en théorie de l'approximation
2.1 Introduction
2.2 Largeurs des classes fonctionnelles et des ensembles dans les espaces de dimension finie
2.3 L'estimation de l'exactitude de la méthode de Fourier sur une classe de fonctions
2.4 L'inégalité de Kolmogorov pour la dérivée intermédiaire
2.5 Critère et unicité des éléments de la meilleure approximation
2.6 e-entropie
Bibliographie

Chapitre 9 KOLMOGOROV ET LA DYNAMIQUE DES POPULATIONS
Karl Sigmund
1 Introduction
2 Des équations de Volterra aux équations de Gause
3 Les équations de Kolmogorov
4 Points techniques
5 L'impact
Bibliographie

Chapitre 10 LE THÉORÈME KAM
John H. Hubbard
Partie I : Deux exemples
1 Le système solaire
1.1 Le cas des masses planétaires nulles
1.2 Nombres et vecteurs irrationnels
1.3 Enroulements linéaires sur un tore
2 Le pendule forcé
Partie II : Énoncé précis et esquisse de la démonstration
3 Abrégé de mécanique hamiltonienne
4 Un énoncé précis du théorème de Kolmogorov
5 Stratégie de la démonstration
5.1 Les équations aux dérivées partielles diophantiennes
5.2 La construction essentielle de la démonstration
Bibliographie

Chapitre 11 DE L'ENTROPIE À L'HYPERBOLICITÉ
Denis V. Kosygin et Yakov G. Sinai
1 Systèmes dynamiques généraux
2 L'article de Kolmogorov sur l'entropie
3 La notion d'hyperbolicité
4 Le système de Lorenz
5 Hyperbolicité dans les systèmes de dimension 1
6 Systèmes bidimensionnels
7 Systèmes conservatifs
8 Conclusion
Bibliographie

Chapitre 12 ASPECTS CONSTRUCTIFS DU THÉORÈME DE SUPERPOSITION
Vasco Brattka
1 Le 13-ième problème de Hilbert
2 Le théorème de superposition de Kolmogorov
3 Calculabilité de la fonction de Sprecher
4 Une version calculable du théorème de superposition de Kolmogorov
5 Aspects liés à la dimension
6 Aspects liés à la constructivité
7 Applications aux réseaux de neurones non récurrents
8 Conclusion
9 Remerciements
Bibliographie

Chapitre 13 COMPLEXITÉ DE KOLMOGOROV
Bruno Durand et Alexander Zvonkin
1 Algorithmes
1.1 Modèles de calcul
1.2 Tous les modèles de calcul sont équivalents
1.3 Machines de Kolmogorov-Uspensky
1.4 Universalité
1.5 Fonctions non calculables
1.6 Retour sur les algorithmes
2 Descriptions et tailles
3 Théorème de Gödel
3.1 Il est prouvé qu'on ne peut pas tout prouver
3.2 Systèmes formels
3.3 Paradoxe de Berry
3.4 Propositions gödéliennes : exemples « concrets »
4 Définition du hasard
4.1 Questions, questions, questions
4.2 Suites aléatoires
4.3 Suites de faible complexité
4.4 Retour sur la définition de « suite aléatoire »
Bibliographie

Chapitre 14 LE CHAOS ALGORITHMIQUE ET LA MÉTHODE D'INCOMPRESSIBILITÉ
Paul Vitányi
1 Introduction
2 La complexité de Kolmogorov
2.1 La méthode d'incompressibilité
2.2 Les suites aléatoires
3 La théorie algorithmique du chaos
3.1 La multiplication par 2 modulo 1
3.2 Le chaos avec une entrée de précision finie
Bibliographie

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